Формула дискримінанта: як знайти D і розв’язати квадратне рівняння

Дискримінант — це ключовий елемент під час розв’язування квадратних рівнянь. Він допомагає швидко визначити, скільки коренів має рівняння, і обчислити їхні значення. У цій статті розглянемо, що таке дискримінант, як виглядає формула дискримінанта, як правильно обчислювати D та які помилки трапляються найчастіше.

Що таке дискримінант і навіщо він потрібен

Дискримінант (зазвичай позначається літерою D) — це вираз, який визначає кількість дійсних коренів квадратного рівняння.

Квадратне рівняння має загальний вигляд:

ax² + bx + c = 0, де:

• a — коефіцієнт при x² (a ≠ 0);
• b — коефіцієнт при x;
• c — вільний член.

Формула дискримінанта

Стандартна формула дискримінанта для квадратного рівняння:

D = b² − 4ac

Як швидко запам’ятати формулу

• Спочатку квадрат коефіцієнта b → b²
• Потім віднімаємо 4ac (чотири помножити на a і на c)
• Важливо дотримуватися порядку: спочатку b², потім − 4ac

Як визначити кількість коренів за дискримінантом

Значення D показує, скільки розв’язків має рівняння в дійсних числах:

• D > 0 — два різні дійсні корені;
• D = 0 — один дійсний корінь (подвійний);
• D < 0 — дійсних коренів немає (можливі комплексні корені).

Формули коренів через дискримінант

Коли D знайдено, корені обчислюють так:

Якщо D > 0 (два корені)

x₁ = (−b + √D) / (2a)
x₂ = (−b − √D) / (2a)

Якщо D = 0 (один корінь)

x = −b / (2a)

Покроковий алгоритм: як знайти дискримінант

1. Запишіть коефіцієнти a, b та c з рівняння ax² + bx + c = 0.
2. Обчисліть b².
3. Обчисліть 4ac.
4. Знайдіть дискримінант: D = b² − 4ac.
5. Визначте кількість коренів за знаком D.
6. Підставте D у формули та знайдіть корені.

Приклади обчислення дискримінанта

Приклад 1: D > 0 (два корені)

Розв’яжемо рівняння: x² − 5x + 6 = 0

• a = 1, b = −5, c = 6
• D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1
• D > 0, отже два корені

x₁ = (5 + √1) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3
x₂ = (5 − √1) / 2 = (5 − 1) / 2 = 2

Приклад 2: D = 0 (один корінь)

Рівняння: x² − 4x + 4 = 0

• a = 1, b = −4, c = 4
• D = (−4)² − 4·1·4 = 16 − 16 = 0
• D = 0, отже один корінь

x = −(−4) / (2·1) = 4 / 2 = 2

Приклад 3: D < 0 (немає дійсних коренів)

Рівняння: x² + 2x + 5 = 0

• a = 1, b = 2, c = 5
• D = 2² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16
• D < 0, дійсних коренів немає

Поширені помилки під час знаходження дискримінанта

• Плутають знак b: якщо b від’ємне, обов’язково підставляйте його в дужках, наприклад (−5)².
• Забувають про 4 у виразі 4ac або рахують 2ac замість 4ac.
• Помиляються під час множення: спочатку перемножте 4·a·c, а потім віднімайте.
• Неправильно визначають коефіцієнти: особливо якщо рівняння записане не в стандартному вигляді.
• Плутають формули: дискримінант — це D = b² − 4ac, а корені — через (−b ± √D) / (2a).

Коротка пам’ятка

• Формула дискримінанта: D = b² − 4ac
• D > 0 → два корені
• D = 0 → один корінь
• D < 0 → немає дійсних коренів