Площа рівнобедреного трикутника — одна з базових тем шкільної геометрії, яка часто трапляється в задачах, контрольних і на іспитах. Рівнобедрений трикутник легко впізнати: у нього дві сторони рівні, а отже, можна використовувати спеціальні властивості висоти, медіани та бісектриси. У цій статті зібрано основні формули площі рівнобедреного трикутника, покрокові обчислення та зрозумілі приклади.
Що таке рівнобедрений трикутник
Рівнобедрений трикутник — це трикутник, у якого дві сторони рівні. Ці рівні сторони називають бічними, а третю сторону — основою.
- Бічні сторони: a і a
- Основа: b
- Кути при основі рівні
- Висота до основи одночасно є медіаною і бісектрисою
Базова формула площі трикутника
Для будь-якого трикутника площа обчислюється за формулою:
S = (1/2) · b · h
де:
- S — площа
- b — основа
- h — висота, опущена на основу
Площа рівнобедреного трикутника через основу і бічну сторону
Якщо відомі бічна сторона a і основа b, спочатку знаходять висоту h. У рівнобедреному трикутнику висота до основи ділить основу навпіл, тому половина основи дорівнює b/2.
Формула висоти через сторони
h = √(a² − (b/2)²)
Формула площі через a і b
S = (1/2) · b · √(a² − (b/2)²)
Приклад 1: знайти площу за бічною стороною і основою
Дано: бічна сторона a = 10, основа b = 12.
- Знайдемо половину основи: b/2 = 12/2 = 6
- Висота: h = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8
- Площа: S = (1/2) · 12 · 8 = 48
Відповідь: площа дорівнює 48.
Площа рівнобедреного трикутника через основу і кут
Іноді відомі основа b і кут при основі α, або відомі бічна сторона і вершиновий кут. У таких випадках зручно застосовувати тригонометрію.
Через бічну сторону і кут між бічними сторонами
Якщо відомі дві рівні сторони a і кут між ними γ (вершинний кут), то:
S = (1/2) · a · a · sin(γ) = (a²/2) · sin(γ)
Приклад 2: площа через бічну сторону і вершиновий кут
Дано: a = 7, γ = 60°.
- S = (7²/2) · sin(60°) = (49/2) · (√3/2)
- S = 49√3 / 4 ≈ 21,2
Відповідь: S = 49√3 / 4 (приблизно 21,2).
Площа рівнобедреного трикутника за формулою Герона
Якщо відомі всі сторони трикутника, можна використати формулу Герона. Для рівнобедреного трикутника з бічними сторонами a, a і основою b:
Крок 1: півпериметр
p = (a + a + b) / 2 = (2a + b) / 2
Крок 2: площа
S = √(p · (p − a) · (p − a) · (p − b))
Приклад 3: знайти площу за трьома сторонами
Дано: a = 13, b = 10.
- p = (2·13 + 10)/2 = (26 + 10)/2 = 18
- S = √(18 · (18 − 13) · (18 − 13) · (18 − 10))
- S = √(18 · 5 · 5 · 8) = √(3600) = 60
Відповідь: площа дорівнює 60.
Площа через висоту і основу: найшвидший спосіб
Якщо висота h уже відома (наприклад, з умови задачі), то формула максимально проста:
S = (1/2) · b · h
Приклад 4: площа за основою і висотою
Дано: b = 14, h = 9.
- S = (1/2) · 14 · 9 = 63
Відповідь: 63.
Корисні підказки для розв’язування задач
Щоб швидше знаходити площу рівнобедреного трикутника, використовуйте властивості цієї фігури й обирайте формулу відповідно до даних з умови.
Як обрати формулу
- Є основа і висота — застосовуйте S = (1/2) · b · h.
- Є бічна сторона і основа — знайдіть висоту: h = √(a² − (b/2)²).
- Є дві сторони і кут між ними — використовуйте S = (1/2)ab sin(кута) (для рівнобедреного: (a²/2)sin(γ)).
- Відомі усі сторони — підходить формула Герона.
Поширені помилки
- Плутанина між основою і бічною стороною.
- Неправильне використання половини основи: важливо брати b/2, а не b.
- Помилки в обчисленні квадратів і кореня під час знаходження висоти.
- Підстановка кутів у градусах / радіанах без перевірки режиму калькулятора.
Короткий підсумок
Площу рівнобедреного трикутника можна знайти різними способами: через основу і висоту, через сторони, через кут або за формулою Герона. Найголовніше — визначити, які дані задані в задачі, і вибрати відповідну формулу для обчислення.
